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188 days ago by mapologo

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Una compañía tiene dos máquinas. Durante cualquier día, cualquier máquina que está trabajando al comienzo del día tiene una probabilidad de 1/3 de descomponerse. Si durante el día se descompone una máquina, se envía a la instalación de reparación y estará funcionando dos días después de que se descompuso. (Así, si una máquina se descompone durante el día 3, estará funcionando el día 5). Haciendo que el estado del sistema sea el número de máquinas que funcionan al principio del día, formule una matriz de probabilidad de transición para esta situación.

Solución

Este problema ya lo hemos visto en clase. El espacio de soluciones es Ω = {0,1,2}. Y la matriz de transición de estados estaría dada por:
M3 = MatrixSpace(QQ,3) P = M3.matrix([[0,0,1],[0,1/3,2/3],[1/9,4/9,4/9]]) P 
        
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(\begin{array}{rrr}
0 & 0 & 1 \\
0 & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\
\frac{1}{9} & \frac{4}{9} & \frac{4}{9}
\end{array}\right)
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(\begin{array}{rrr}
0 & 0 & 1 \\
0 & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\
\frac{1}{9} & \frac{4}{9} & \frac{4}{9}
\end{array}\right)

Recordemos que cuando ninguno máquina funciona (ambas están dañadas), es seguro que estarán funcionando al día siguiente. Cuando sólo una máquina funciona, la otra máquina estará funcionando al día siguiente, así que si se descompone tendremos una máquina funcionando, si sigue funcionando tendremos las dos máquinas funcionando. Cuando las dos máquinas funcionan, pueden dañarse las dos 1/3 × 1/3 = 1/9, puede dañarse una mientras la otra sigue funcionando 1/3 × 2/3 + 2/3 × 1/3 = 1/9, o pueden seguir funcionando las dos 2/3 × 2/3 = 4/9.

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En el problema 3, suponga que una máquina que se descompone vuelve al servicio tres días después (por ejemplo, una máquina que se descompone el día 3 estaría funcionando de nuevo al comienzo del día 6). Determine una matriz de probabilidad de transición para esta situación.

Solución

En este caso es fundamental darse cuenta que hay que expandir el espacio de estados, ya que no es suficiente con decir que una máquina está descompuesta, hay que indicar además cuanto tiempo tiene descompuesta. Así, el espacio de estados sería Ω = {0¹¹,0²²,0¹²,1¹,1²,2}, para indicar que:

  • 0¹¹ las dos máquinas llevan un día descompuestas,
  • 0²² las dos llevan dos días descompuestas,
  • 0¹² una lleva un día descompuesta mientras la otra dos días,
  • 1¹ una funciona mientras la otra lleva un día descompuesta,
  • 1² una funciona y la otra tiene dos días descompuesta, y
  • 2 las dos funcionan.

De este modo, la matriz de probabilidades de transición quedaría:
M3 = MatrixSpace(QQ,6) P = M3.matrix([[0,1,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,1],[0,0,0,1,0,0],[0,0,1/3,0,2/3,0],[0,0,0,1/3,0,2/3],[1/9,0,0,4/9,0,4/9]]) P 
        
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(\begin{array}{rrrrrr}
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & \frac{2}{3} & 0 \\
0 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\
\frac{1}{9} & 0 & 0 & \frac{4}{9} & 0 & \frac{4}{9}
\end{array}\right)
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(\begin{array}{rrrrrr}
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & \frac{2}{3} & 0 \\
0 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\
\frac{1}{9} & 0 & 0 & \frac{4}{9} & 0 & \frac{4}{9}
\end{array}\right)
  • Cuando las dos máquinas están en su primer día en el taller 0¹¹, pasarán el siguiente día en el taller 0²² y después estarán funcionando ambas → 2, estas son las filas 1 y 2.
  • La fila 3 indica que cuando una máquina tiene un día en el taller y la otra dos 0¹², al siguiente día una estará en funcionamiento, y la otra en su segundo día de taller → 1².
  • La fila 4 señala que: cuando una máquina funciona y la otra tiene un día descompuesta 1¹, para el día siguiente una seguirá en el taller (y será su segundo día) y la otra podría descomponerse → 0¹² o seguir funcionando → 1².
  • En la fila 5 tenemos el estado en que una máquina funciona y la otra está en su segundo día de taller 1², al siguiente día la máquina descompuesta estará funcionando y la otra máquina podría descomponerse → 1¹ o seguir funcionando → 2.
  • Finalmente, la fila 6 muestra que si ambas máquinas están en funcionamiento 2, cada una puede ir a pasar su primer día de taller o seguir funcionando tal y cómo ocurre en la tercera fila del problema 3.

Vale la pena notar que el espacio de estados tiene el doble de elementos, pero P se ha llenado de ceros por transiciones infactibles. Además, no hay un estado 0²¹ porque para efectos del problema es indistinto si una máquina es la que está dañada o la otra, esto se considera en el cálculo de probabilidades cuando se calcula 1/3 × 2/3 + 2/3 × 1/3 donde se consideran ambos casos.