Théorie mathématique de la guerre
D'après L. F. Richardson
Pour noël, je me suis dit que je pouvais faire tourner ce que j'ai fait sur le DM dégeu de notre maître à tous. C'est pas super propre, mais j'avais un peu autre chose à foutre que rendre ça tout beau, sachant que c'est certainement à moitié faux. Par contre c'est pas du Maple (j'abhorre cette dégeulasserie), mais si ça peut aider quelqu'un...
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\def\dv{\ensuremath{\mathrm{d\,}}}
\def\e#1{\ensuremath{\mathrm{\mathbf{e}}^{#1}}}
\section*{Problème}
On note $x(t)$ et $y(t)$ les potentiels guerriers (ou l'armement) des deux joueurs. Le taux de changement de $x$ dépend de $y$ (puisque le premier joueur crait le second) et des griefs que le premier joueur a envers le second. On représente cela par les constantes $k$ et $g$.
Par ailleurs, l'armement coûte et comme la richesse n'est pas inépuisable, il y a un frein à l'armement que l'on représente par $-\alpha x$, où $\alpha$ est une constante.
Pour $k$, $\alpha$, $g$, $\ell$, $\beta$ et $h$ des constantes positives, on a :
\[
\left\{\begin{aligned}
\displaystyle\frac{\dv}{\dv t}\;x(t) &= ky(t) - \alpha x(t) + g \\
\displaystyle\frac{\dv}{\dv t}\;y(t) &= \ell x(t) - \beta y(t) + h
\end{aligned}\right.
\qquad\qquad
(x(t_0),\; y(t_0)) = (x_0,\; y_0)
\]
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forget()
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alpha, beta, k, l, g, h, t, t0, x0, y0 = var('alpha, beta, k, l, g, h, t, t_0, x_0, y_0', domain='positive')
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x, y = function('x', t), function('y', t); x, y
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(x\left(t\right), y\left(t\right)\right)
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(x\left(t\right), y\left(t\right)\right)
|
X = matrix([[x], [y]]); X
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(\begin{array}{r}
x\left(t\right) \\
y\left(t\right)
\end{array}\right)
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(\begin{array}{r}
x\left(t\right) \\
y\left(t\right)
\end{array}\right)
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A = matrix([[-alpha, k],[l, -beta]]); A
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(\begin{array}{rr}
-\alpha & k \\
l & -\beta
\end{array}\right)
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(\begin{array}{rr}
-\alpha & k \\
l & -\beta
\end{array}\right)
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F = matrix([[g], [h]]); F
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(\begin{array}{r}
g \\
h
\end{array}\right)
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(\begin{array}{r}
g \\
h
\end{array}\right)
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X0 = matrix([[x0], [y0]]); X0;
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(\begin{array}{r}
x_{0} \\
y_{0}
\end{array}\right)
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(\begin{array}{r}
x_{0} \\
y_{0}
\end{array}\right)
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W = A * X + F - diff(X, t); W
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(\begin{array}{r}
-\alpha x\left(t\right) + k y\left(t\right) + g - D[0]\left(x\right)\left(t\right) \\
-\beta y\left(t\right) + l x\left(t\right) + h - D[0]\left(y\right)\left(t\right)
\end{array}\right)
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(\begin{array}{r}
-\alpha x\left(t\right) + k y\left(t\right) + g - D[0]\left(x\right)\left(t\right) \\
-\beta y\left(t\right) + l x\left(t\right) + h - D[0]\left(y\right)\left(t\right)
\end{array}\right)
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S = [ e == 0 for e in W.list() ]; S;
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left[-\alpha x\left(t\right) + k y\left(t\right) + g - D[0]\left(x\right)\left(t\right) = 0, -\beta y\left(t\right) + l x\left(t\right) + h - D[0]\left(y\right)\left(t\right) = 0\right]
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left[-\alpha x\left(t\right) + k y\left(t\right) + g - D[0]\left(x\right)\left(t\right) = 0, -\beta y\left(t\right) + l x\left(t\right) + h - D[0]\left(y\right)\left(t\right) = 0\right]
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\def\dv{\ensuremath{\mathrm{d\,}}}
\def\e#1{\ensuremath{\mathrm{\mathbf{e}}^{#1}}}
\section*{Forme matricielle}
{\bf \'Ecrire le système sous forme matricielle.}
\[
(1):\
\left\{\begin{aligned}
\frac{\dv}{\dv t} X(t) &= A X(t) + F(t) \\
X(0) &= X_0
\end{aligned}\right.
\]
On obtient :
\[
(1):\
\left\{\begin{aligned}
\frac{\dv}{\dv t} \sage{X} &= \sage{A} \sage{X} + \sage{F} \\
\sage{X(t=0)} &= \sage{X0}
\end{aligned}\right.
\]
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Weq = A*X(t) + F; Weq
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(\begin{array}{r}
-\alpha x\left(t\right) + k y\left(t\right) + g \\
-\beta y\left(t\right) + l x\left(t\right) + h
\end{array}\right)
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(\begin{array}{r}
-\alpha x\left(t\right) + k y\left(t\right) + g \\
-\beta y\left(t\right) + l x\left(t\right) + h
\end{array}\right)
|
Seq = [ e == 0 for e in Weq.list() ]; Seq
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left[-\alpha x\left(t\right) + k y\left(t\right) + g = 0, -\beta y\left(t\right) + l x\left(t\right) + h = 0\right]
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left[-\alpha x\left(t\right) + k y\left(t\right) + g = 0, -\beta y\left(t\right) + l x\left(t\right) + h = 0\right]
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soleq = desolve_system(Seq, [x, y], ivar=t);
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soleq
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left[x\left(t\right) = \frac{\beta g + h k}{\alpha \beta - k l}, y\left(t\right) = \frac{\alpha h + g l}{\alpha \beta - k l}\right]
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left[x\left(t\right) = \frac{\beta g + h k}{\alpha \beta - k l}, y\left(t\right) = \frac{\alpha h + g l}{\alpha \beta - k l}\right]
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xeq, yeq = soleq[0].rhs().function(t), soleq[1].rhs().function(t); xeq; yeq
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}t \ {\mapsto}\ \frac{\beta g + h k}{\alpha \beta - k l} \newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}t \ {\mapsto}\ \frac{\alpha h + g l}{\alpha \beta - k l} \newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}t \ {\mapsto}\ \frac{\beta g + h k}{\alpha \beta - k l} \newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}t \ {\mapsto}\ \frac{\alpha h + g l}{\alpha \beta - k l} |
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\def\dv{\ensuremath{\mathrm{d\,}}}
\def\e#1{\ensuremath{\mathrm{\mathbf{e}}^{#1}}}
\section*{Point d'équilibre}
On appelle point d'équilibre du système (1) un vecteur $\left(\begin{smallmatrix}\bar x \\ \bar y\end{smallmatrix}\right)$ tel que $\frac{\dv \bar x}{\dv t} = \frac{\dv \bar y}{\dv t} = 0$ et qui vérifie la première équation de (1).
{\bf Calculer le point d'équilibre en fonction des constantes $\alpha$, $\beta$, $k$, $\ell$, $g$ et $h$.}
On résoud :
\[ \sage{A} \sage{X(t)} + \sage{F} = 0 \]
On obtient la solution :
\[ \bar x = \sage{xeq(t)} \qquad \bar y = \sage{yeq(t)} \]
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(4*k*l+beta^2-2*alpha*beta+alpha^2 > 0).assume() # On a une racine de ce truc dans l'expression, on le suppose positif pour pas se retrouver avec des solutions complexes.
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sol = desolve_system(S, [x, y], ivar=t, ics=[0, x0, y0])
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sol
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left[x\left(t\right) = -{\left(\frac{{\left(\frac{{\left(\alpha + \beta\right)} {\left({\left(\alpha \beta - k l\right)} x_{0} - \beta g - h k\right)}}{\alpha \beta - k l} + \frac{2 \, {\left({\left(\alpha + \beta\right)} h k + \beta^{2} g + g k l - {\left(\alpha \beta k - k^{2} l\right)} y_{0} - {\left(\alpha \beta^{2} - \beta k l\right)} x_{0}\right)}}{\alpha \beta - k l}\right)} \sinh\left(\frac{1}{2} \, \sqrt{\alpha^{2} - 2 \, \alpha \beta + \beta^{2} + 4 \, k l} t\right)}{\sqrt{\alpha^{2} - 2 \, \alpha \beta + \beta^{2} + 4 \, k l}} - \frac{{\left({\left(\alpha \beta - k l\right)} x_{0} - \beta g - h k\right)} \cosh\left(\frac{1}{2} \, \sqrt{\alpha^{2} - 2 \, \alpha \beta + \beta^{2} + 4 \, k l} t\right)}{\alpha \beta - k l}\right)} e^{\left(-\frac{1}{2} \, {\left(\alpha + \beta\right)} t\right)} + \frac{\beta g + h k}{\alpha \beta - k l}, y\left(t\right) = -{\left(\frac{{\left(\frac{{\left(\alpha + \beta\right)} {\left({\left(\alpha \beta - k l\right)} y_{0} - \alpha h - g l\right)}}{\alpha \beta - k l} + \frac{2 \, {\left(\alpha^{2} h + {\left({\left(\alpha + \beta\right)} g + h k\right)} l - {\left(\alpha \beta l - k l^{2}\right)} x_{0} - {\left(\alpha^{2} \beta - \alpha k l\right)} y_{0}\right)}}{\alpha \beta - k l}\right)} \sinh\left(\frac{1}{2} \, \sqrt{\alpha^{2} - 2 \, \alpha \beta + \beta^{2} + 4 \, k l} t\right)}{\sqrt{\alpha^{2} - 2 \, \alpha \beta + \beta^{2} + 4 \, k l}} - \frac{{\left({\left(\alpha \beta - k l\right)} y_{0} - \alpha h - g l\right)} \cosh\left(\frac{1}{2} \, \sqrt{\alpha^{2} - 2 \, \alpha \beta + \beta^{2} + 4 \, k l} t\right)}{\alpha \beta - k l}\right)} e^{\left(-\frac{1}{2} \, {\left(\alpha + \beta\right)} t\right)} + \frac{\alpha h + g l}{\alpha \beta - k l}\right]
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left[x\left(t\right) = -{\left(\frac{{\left(\frac{{\left(\alpha + \beta\right)} {\left({\left(\alpha \beta - k l\right)} x_{0} - \beta g - h k\right)}}{\alpha \beta - k l} + \frac{2 \, {\left({\left(\alpha + \beta\right)} h k + \beta^{2} g + g k l - {\left(\alpha \beta k - k^{2} l\right)} y_{0} - {\left(\alpha \beta^{2} - \beta k l\right)} x_{0}\right)}}{\alpha \beta - k l}\right)} \sinh\left(\frac{1}{2} \, \sqrt{\alpha^{2} - 2 \, \alpha \beta + \beta^{2} + 4 \, k l} t\right)}{\sqrt{\alpha^{2} - 2 \, \alpha \beta + \beta^{2} + 4 \, k l}} - \frac{{\left({\left(\alpha \beta - k l\right)} x_{0} - \beta g - h k\right)} \cosh\left(\frac{1}{2} \, \sqrt{\alpha^{2} - 2 \, \alpha \beta + \beta^{2} + 4 \, k l} t\right)}{\alpha \beta - k l}\right)} e^{\left(-\frac{1}{2} \, {\left(\alpha + \beta\right)} t\right)} + \frac{\beta g + h k}{\alpha \beta - k l}, y\left(t\right) = -{\left(\frac{{\left(\frac{{\left(\alpha + \beta\right)} {\left({\left(\alpha \beta - k l\right)} y_{0} - \alpha h - g l\right)}}{\alpha \beta - k l} + \frac{2 \, {\left(\alpha^{2} h + {\left({\left(\alpha + \beta\right)} g + h k\right)} l - {\left(\alpha \beta l - k l^{2}\right)} x_{0} - {\left(\alpha^{2} \beta - \alpha k l\right)} y_{0}\right)}}{\alpha \beta - k l}\right)} \sinh\left(\frac{1}{2} \, \sqrt{\alpha^{2} - 2 \, \alpha \beta + \beta^{2} + 4 \, k l} t\right)}{\sqrt{\alpha^{2} - 2 \, \alpha \beta + \beta^{2} + 4 \, k l}} - \frac{{\left({\left(\alpha \beta - k l\right)} y_{0} - \alpha h - g l\right)} \cosh\left(\frac{1}{2} \, \sqrt{\alpha^{2} - 2 \, \alpha \beta + \beta^{2} + 4 \, k l} t\right)}{\alpha \beta - k l}\right)} e^{\left(-\frac{1}{2} \, {\left(\alpha + \beta\right)} t\right)} + \frac{\alpha h + g l}{\alpha \beta - k l}\right]
|
x1, y1 = sol[0].rhs().function(t), sol[1].rhs().function(t); x1; y1
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}t \ {\mapsto}\ -{\left(\frac{{\left(\frac{{\left(\alpha + \beta\right)} {\left({\left(\alpha \beta - k l\right)} x_{0} - \beta g - h k\right)}}{\alpha \beta - k l} + \frac{2 \, {\left({\left(\alpha + \beta\right)} h k + \beta^{2} g + g k l - {\left(\alpha \beta k - k^{2} l\right)} y_{0} - {\left(\alpha \beta^{2} - \beta k l\right)} x_{0}\right)}}{\alpha \beta - k l}\right)} \sinh\left(\frac{1}{2} \, \sqrt{\alpha^{2} - 2 \, \alpha \beta + \beta^{2} + 4 \, k l} t\right)}{\sqrt{\alpha^{2} - 2 \, \alpha \beta + \beta^{2} + 4 \, k l}} - \frac{{\left({\left(\alpha \beta - k l\right)} x_{0} - \beta g - h k\right)} \cosh\left(\frac{1}{2} \, \sqrt{\alpha^{2} - 2 \, \alpha \beta + \beta^{2} + 4 \, k l} t\right)}{\alpha \beta - k l}\right)} e^{\left(-\frac{1}{2} \, {\left(\alpha + \beta\right)} t\right)} + \frac{\beta g + h k}{\alpha \beta - k l} \newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}t \ {\mapsto}\ -{\left(\frac{{\left(\frac{{\left(\alpha + \beta\right)} {\left({\left(\alpha \beta - k l\right)} y_{0} - \alpha h - g l\right)}}{\alpha \beta - k l} + \frac{2 \, {\left(\alpha^{2} h + {\left({\left(\alpha + \beta\right)} g + h k\right)} l - {\left(\alpha \beta l - k l^{2}\right)} x_{0} - {\left(\alpha^{2} \beta - \alpha k l\right)} y_{0}\right)}}{\alpha \beta - k l}\right)} \sinh\left(\frac{1}{2} \, \sqrt{\alpha^{2} - 2 \, \alpha \beta + \beta^{2} + 4 \, k l} t\right)}{\sqrt{\alpha^{2} - 2 \, \alpha \beta + \beta^{2} + 4 \, k l}} - \frac{{\left({\left(\alpha \beta - k l\right)} y_{0} - \alpha h - g l\right)} \cosh\left(\frac{1}{2} \, \sqrt{\alpha^{2} - 2 \, \alpha \beta + \beta^{2} + 4 \, k l} t\right)}{\alpha \beta - k l}\right)} e^{\left(-\frac{1}{2} \, {\left(\alpha + \beta\right)} t\right)} + \frac{\alpha h + g l}{\alpha \beta - k l} \newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}t \ {\mapsto}\ -{\left(\frac{{\left(\frac{{\left(\alpha + \beta\right)} {\left({\left(\alpha \beta - k l\right)} x_{0} - \beta g - h k\right)}}{\alpha \beta - k l} + \frac{2 \, {\left({\left(\alpha + \beta\right)} h k + \beta^{2} g + g k l - {\left(\alpha \beta k - k^{2} l\right)} y_{0} - {\left(\alpha \beta^{2} - \beta k l\right)} x_{0}\right)}}{\alpha \beta - k l}\right)} \sinh\left(\frac{1}{2} \, \sqrt{\alpha^{2} - 2 \, \alpha \beta + \beta^{2} + 4 \, k l} t\right)}{\sqrt{\alpha^{2} - 2 \, \alpha \beta + \beta^{2} + 4 \, k l}} - \frac{{\left({\left(\alpha \beta - k l\right)} x_{0} - \beta g - h k\right)} \cosh\left(\frac{1}{2} \, \sqrt{\alpha^{2} - 2 \, \alpha \beta + \beta^{2} + 4 \, k l} t\right)}{\alpha \beta - k l}\right)} e^{\left(-\frac{1}{2} \, {\left(\alpha + \beta\right)} t\right)} + \frac{\beta g + h k}{\alpha \beta - k l} \newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}t \ {\mapsto}\ -{\left(\frac{{\left(\frac{{\left(\alpha + \beta\right)} {\left({\left(\alpha \beta - k l\right)} y_{0} - \alpha h - g l\right)}}{\alpha \beta - k l} + \frac{2 \, {\left(\alpha^{2} h + {\left({\left(\alpha + \beta\right)} g + h k\right)} l - {\left(\alpha \beta l - k l^{2}\right)} x_{0} - {\left(\alpha^{2} \beta - \alpha k l\right)} y_{0}\right)}}{\alpha \beta - k l}\right)} \sinh\left(\frac{1}{2} \, \sqrt{\alpha^{2} - 2 \, \alpha \beta + \beta^{2} + 4 \, k l} t\right)}{\sqrt{\alpha^{2} - 2 \, \alpha \beta + \beta^{2} + 4 \, k l}} - \frac{{\left({\left(\alpha \beta - k l\right)} y_{0} - \alpha h - g l\right)} \cosh\left(\frac{1}{2} \, \sqrt{\alpha^{2} - 2 \, \alpha \beta + \beta^{2} + 4 \, k l} t\right)}{\alpha \beta - k l}\right)} e^{\left(-\frac{1}{2} \, {\left(\alpha + \beta\right)} t\right)} + \frac{\alpha h + g l}{\alpha \beta - k l} |
Zx = x1 - xeq; Zy = y1 - yeq; Zx(t); Zy(t)
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-{\left(\frac{{\left(\frac{{\left(\alpha + \beta\right)} {\left({\left(\alpha \beta - k l\right)} x_{0} - \beta g - h k\right)}}{\alpha \beta - k l} + \frac{2 \, {\left({\left(\alpha + \beta\right)} h k + \beta^{2} g + g k l - {\left(\alpha \beta k - k^{2} l\right)} y_{0} - {\left(\alpha \beta^{2} - \beta k l\right)} x_{0}\right)}}{\alpha \beta - k l}\right)} \sinh\left(\frac{1}{2} \, \sqrt{\alpha^{2} - 2 \, \alpha \beta + \beta^{2} + 4 \, k l} t\right)}{\sqrt{\alpha^{2} - 2 \, \alpha \beta + \beta^{2} + 4 \, k l}} - \frac{{\left({\left(\alpha \beta - k l\right)} x_{0} - \beta g - h k\right)} \cosh\left(\frac{1}{2} \, \sqrt{\alpha^{2} - 2 \, \alpha \beta + \beta^{2} + 4 \, k l} t\right)}{\alpha \beta - k l}\right)} e^{\left(-\frac{1}{2} \, {\left(\alpha + \beta\right)} t\right)} \newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-{\left(\frac{{\left(\frac{{\left(\alpha + \beta\right)} {\left({\left(\alpha \beta - k l\right)} y_{0} - \alpha h - g l\right)}}{\alpha \beta - k l} + \frac{2 \, {\left(\alpha^{2} h + {\left({\left(\alpha + \beta\right)} g + h k\right)} l - {\left(\alpha \beta l - k l^{2}\right)} x_{0} - {\left(\alpha^{2} \beta - \alpha k l\right)} y_{0}\right)}}{\alpha \beta - k l}\right)} \sinh\left(\frac{1}{2} \, \sqrt{\alpha^{2} - 2 \, \alpha \beta + \beta^{2} + 4 \, k l} t\right)}{\sqrt{\alpha^{2} - 2 \, \alpha \beta + \beta^{2} + 4 \, k l}} - \frac{{\left({\left(\alpha \beta - k l\right)} y_{0} - \alpha h - g l\right)} \cosh\left(\frac{1}{2} \, \sqrt{\alpha^{2} - 2 \, \alpha \beta + \beta^{2} + 4 \, k l} t\right)}{\alpha \beta - k l}\right)} e^{\left(-\frac{1}{2} \, {\left(\alpha + \beta\right)} t\right)} \newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-{\left(\frac{{\left(\frac{{\left(\alpha + \beta\right)} {\left({\left(\alpha \beta - k l\right)} x_{0} - \beta g - h k\right)}}{\alpha \beta - k l} + \frac{2 \, {\left({\left(\alpha + \beta\right)} h k + \beta^{2} g + g k l - {\left(\alpha \beta k - k^{2} l\right)} y_{0} - {\left(\alpha \beta^{2} - \beta k l\right)} x_{0}\right)}}{\alpha \beta - k l}\right)} \sinh\left(\frac{1}{2} \, \sqrt{\alpha^{2} - 2 \, \alpha \beta + \beta^{2} + 4 \, k l} t\right)}{\sqrt{\alpha^{2} - 2 \, \alpha \beta + \beta^{2} + 4 \, k l}} - \frac{{\left({\left(\alpha \beta - k l\right)} x_{0} - \beta g - h k\right)} \cosh\left(\frac{1}{2} \, \sqrt{\alpha^{2} - 2 \, \alpha \beta + \beta^{2} + 4 \, k l} t\right)}{\alpha \beta - k l}\right)} e^{\left(-\frac{1}{2} \, {\left(\alpha + \beta\right)} t\right)} \newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-{\left(\frac{{\left(\frac{{\left(\alpha + \beta\right)} {\left({\left(\alpha \beta - k l\right)} y_{0} - \alpha h - g l\right)}}{\alpha \beta - k l} + \frac{2 \, {\left(\alpha^{2} h + {\left({\left(\alpha + \beta\right)} g + h k\right)} l - {\left(\alpha \beta l - k l^{2}\right)} x_{0} - {\left(\alpha^{2} \beta - \alpha k l\right)} y_{0}\right)}}{\alpha \beta - k l}\right)} \sinh\left(\frac{1}{2} \, \sqrt{\alpha^{2} - 2 \, \alpha \beta + \beta^{2} + 4 \, k l} t\right)}{\sqrt{\alpha^{2} - 2 \, \alpha \beta + \beta^{2} + 4 \, k l}} - \frac{{\left({\left(\alpha \beta - k l\right)} y_{0} - \alpha h - g l\right)} \cosh\left(\frac{1}{2} \, \sqrt{\alpha^{2} - 2 \, \alpha \beta + \beta^{2} + 4 \, k l} t\right)}{\alpha \beta - k l}\right)} e^{\left(-\frac{1}{2} \, {\left(\alpha + \beta\right)} t\right)} |
%latex
\def\dv{\ensuremath{\mathrm{d\,}}}
\def\e#1{\ensuremath{\mathrm{\mathbf{e}}^{#1}}}
\section*{Stabilité du point d'équilibre}
On veut étudier la stabilité du point d'équilibre. Soit $X(t)$ une solution de (1). On pose $Z(t) = X(t) - \left(\begin{smallmatrix} \bar x \\ \bar y \end{smallmatrix}\right)$.
{\bf Donner l'équation satisfaite par $Z(t)$.}
\[\begin{aligned}
Z_x &= \sage{Zx(t)} \\
Z_y &= \sage{Zy(t)}
\end{aligned}\]
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# On suppose alpha + beta positif pour le calcul de la limite
(beta > 0).assume(); (alpha > 0).assume()
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Zx(t).limit(t=oo); Zy(t).limit(t=oo)
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}0 \newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}0 \newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}0 \newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}0 |
%latex
\def\dv{\ensuremath{\mathrm{d\,}}}
\def\e#1{\ensuremath{\mathrm{\mathbf{e}}^{#1}}}
\section*{Limites}
On veut que $\displaystyle \lim_{t \to \infty} Z(t) = 0$. {\bf Comment choisir $\alpha$, $\beta$, $k$, $\ell$, $g$ et $h$ ?}
En y allant légèrement <<~au feeling~>>, on remarque que la valeur de la différence $\alpha\beta - k\ell$ influe fortement sur la tendance générale de la courbe.
\begin{enumerate}
\item Pour $\alpha\beta = k\ell$, on a une indétermination (division par zéro) ;
\item Pour $\alpha\beta > k\ell$, on a une décroissance exponentielle jusqu'à zéro en $+\infty$ ;
\item Pour $\alpha\beta < k\ell$, on a croissance exponentielle.
\end{enumerate}
Quand à le démontrer, la seule expression de la limite que SAGE trouve c'est 0 :
\[ \lim_{t\to\infty} Z_x = \lim_{t\to\infty} \sage{Zx(t)} = \sage{Zx(t).limit(t=oo).simplify()} \]
\[ \lim_{t\to\infty} Z_y = \lim_{t\to\infty} \sage{Zy(t)} = \sage{Zy(t).limit(t=oo).simplify()} \]
Mais on peut le <<~préssentir~>> en remarquant que l'on peut mettre $\dfrac{1}{kl - \alpha\beta}$ en facteur (j'arrive pas à le faire ici, j'ai pas envie de me prendre la tête avec SAGE).
Si quelqu'un sait comment s'y prendre pour démontrer le comportement que j'explique, bein j'achète.
La stabilité du système est bien indépendante du choix du joueur (1) et (2).
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call = dict(alpha = 2, k = 2, g = 3, beta = 4, l = 2, h = 6, x_0 = 7, y_0 = 0)
p = plot((Zx + xeq)(**call), [t, 0, 10], color='#C65D09', legend_label='$x(t)$')
p += plot((Zy + yeq)(**call), [t, 0, 10], color='#007020', legend_label='$y(t)$')
p.axes_labels(['$t$', ''])
p.set_legend_options(title='Evolution des potentiels guerriers $x(t)$ et $y(t)$ avec le temps.', loc='best', fancybox=true)
p;
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yb = y1.substitute({y0: 0}); yb
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}t \ {\mapsto}\ {\left(\frac{{\left(\frac{{\left(\alpha + \beta\right)} {\left(\alpha h + g l\right)}}{\alpha \beta - k l} - \frac{2 \, {\left(\alpha^{2} h + {\left({\left(\alpha + \beta\right)} g + h k\right)} l - {\left(\alpha \beta l - k l^{2}\right)} x_{0}\right)}}{\alpha \beta - k l}\right)} \sinh\left(\frac{1}{2} \, \sqrt{\alpha^{2} - 2 \, \alpha \beta + \beta^{2} + 4 \, k l} t\right)}{\sqrt{\alpha^{2} - 2 \, \alpha \beta + \beta^{2} + 4 \, k l}} - \frac{{\left(\alpha h + g l\right)} \cosh\left(\frac{1}{2} \, \sqrt{\alpha^{2} - 2 \, \alpha \beta + \beta^{2} + 4 \, k l} t\right)}{\alpha \beta - k l}\right)} e^{\left(-\frac{1}{2} \, {\left(\alpha + \beta\right)} t\right)} + \frac{\alpha h + g l}{\alpha \beta - k l}
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}t \ {\mapsto}\ {\left(\frac{{\left(\frac{{\left(\alpha + \beta\right)} {\left(\alpha h + g l\right)}}{\alpha \beta - k l} - \frac{2 \, {\left(\alpha^{2} h + {\left({\left(\alpha + \beta\right)} g + h k\right)} l - {\left(\alpha \beta l - k l^{2}\right)} x_{0}\right)}}{\alpha \beta - k l}\right)} \sinh\left(\frac{1}{2} \, \sqrt{\alpha^{2} - 2 \, \alpha \beta + \beta^{2} + 4 \, k l} t\right)}{\sqrt{\alpha^{2} - 2 \, \alpha \beta + \beta^{2} + 4 \, k l}} - \frac{{\left(\alpha h + g l\right)} \cosh\left(\frac{1}{2} \, \sqrt{\alpha^{2} - 2 \, \alpha \beta + \beta^{2} + 4 \, k l} t\right)}{\alpha \beta - k l}\right)} e^{\left(-\frac{1}{2} \, {\left(\alpha + \beta\right)} t\right)} + \frac{\alpha h + g l}{\alpha \beta - k l}
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\def\dv{\ensuremath{\mathrm{d\,}}}
\def\e#1{\ensuremath{\mathrm{\mathbf{e}}^{#1}}}
\section*{Etude}
Supposons que $y(t_0) = 0$. {\bf $y(t)$ va-t-il rester nul pour $t > t_0$ si $X(t) = \left(\begin{smallmatrix}x(t) \\ y(t)\end{smallmatrix}\right)$ vérifie (1) ?}
Bein à priori, non. Pourquoi ? Parce que.
Plus sérieusement, si on prend les valeurs $\sage{call}$, on a le tracé suivant (en vert pour $y$), où $y$ n'est clairement pas une constante nulle.
L'expression de $y$ dans le cas où $y_0 = 0$ n'est clairement pas nulle :
\[ y(t)\Big|_{y_0 = 0} = \sage{yb(t)} \]
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\def\dv{\ensuremath{\mathrm{d\,}}}
\def\e#1{\ensuremath{\mathrm{\mathbf{e}}^{#1}}}
\section*{Notes}
On aura fait les suppositions suivantes :
\sage{assumptions()}
On suppose $\alpha^2 - 2\alpha\beta + \beta^2 + 4kl > 0$ pour travailler sur des solutions réelles à l'équation. En effet, on utilise à plusieurs endroits $\sqrt{\alpha^2 - 2\alpha\beta + \beta^2 + 4kl}$.
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